Exercicios

Veja os exercícios resolvidos e aprenda como fazer!

Exercicios sobre função

Profa. Rosana G. S. Miskulin

1. Sendo f(x) = x / (x+1), g(x) = x¹⁰ e h(x) = x +3

Escrever: f o g o h (x) =?

f o g o h (x) = f (g (h(x) ) ) = f ( g (x +3 ) ) =

f ( (x +3 ) ¹⁰ ) = (x +3 ) ¹⁰ / (x +3 ) ¹⁰ +1

2. Sendo f(x) = x² , g(x) = cosx e h(x) = x + 9

Escrever: f o g o h (x) = f (g (h(x) ) ) =

f ( g (x + 9 ) ) = f ( cós (x + 9) ) = [cós ( x + 9) ]²

3. Sendo f(x) = x -7, g(x) = x² e h(x) = x +3

Escrever: f (g(x) ) = f (x²) = x²-7

e f (g(2) ) = 4 - 7 = - 3

4. Sendo f(x) = x + 5, g(x) = x² - 3, calcular:

a) f (g(0) ) =

b) g (f(0) =

c) f(g(x)) =

d) g(f(x)) =

e) f(f(-5) ) =

f) g (g(2) ) =

g) f(f(x)) =

h) g(g(x) ) =

Solução:

a) f(g(0))

g(x) = x² – 3, portanto g(0) = 0 - 3 = -3 e f(x) = x + 5, portanto

f(g(0)) = f(-3) = -3 + 5 = 2

b) g(f(0))

f(0) = 0 + 5 = 5, portanto g(f(0)) = g(5) = 5² – 3 = 25 – 3 = 22

c) f(g(x))

g(x) = x² – 3, portanto f(g(x)) = f(x² – 3) = x² – 3 + 5 = x² + 2

d) g(f(x))

f(x) = x + 5, portanto g(f(x)) = g(x + 5) = (x + 5)² – 3 = x² + 10x + 25 – 3 = x² + 10x + 22

e) f(f(-5))

f(-5) = x + 5 – 5 = 0, portanto f(f(-5)) = -5 + 5 + 5 = 5

f) g(g(2))

g(2) = 2² – 3 = 4 – 3 = 1, portanto g(g(2)) = g(1) = 1² – 3 = 1 – 3 = -2

g) f(f(x))

f(x) = x + 5, portanto f(f(x)) = f(x + 5) = x + 5 + 5 = x + 10

h) g(g(x))

g(x) = x² – 3, portanto g(g(x)) = g(x² – 3) = (x² – 3)² – 3 = x⁴ – 6x² + 9 – 3 = x⁴ – 6x² + 6

5) Sendo f(x) = x -1, g(x) = 1 / (x+1)

Escrever: a) f (g(x) ) = f(1 / (x+1) ) = 1 / (x+1) -1

b) f (g(1/2) )= 1 / [(x+1) -1] = 1 / (1/2+1)= -1/3

c) g( f (x) ) = g (x -1) =1 / [(x -1)+1] =

1 / x -1+1 = 1/x

d) g( f (2) ) =1/2

e) f (f (x) ) = f(x -1) = (x -1) -1 = x -2

f) g ( g (2) ) = g [1 / (x+1) ] = 1 / ([1 / (x+1)]+1) =(x+1) / ( x+2) = 3/4

7. f ( f(2) ) = x -2 = 0

6) Encontrar o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta: 8x + 5y = 20. Represente a reta gráficamente.

5y = 20 - 8x  y = (20 - 8x) / 5 y = 20/5 – 8/5x

 y = 4 - 8/5x ou  y = - 8/5x + 4

m = -8/5 e b = 4

7) Escrever uma equação para a reta que passa pelo ponto (-1, -3) e que seja :

1. paralela à reta L: y = 3x - 4
2. perpendicular à reta L: y = 3x – 4

1. ponto (-1, -3) e paralela à reta L: y = 3x - 4

(m = 3)

y – y₁ = m (x- x₁ )  y + 3 = 3 ( x +1)  y + 3 = 3x +3  y = 3x + 3 -3  y = 3x

3. ponto (-1, -3) e perpendicular à reta ( m = -1/3)

L: y = 3x – 4

y – y₁ = m (x- x₁ )  y + 3 = -1/3 ( x +1) 

y + 3 = -1/3 x - 1/3  y = -1/3x - 1/3 - 3 

y = -1/3x -10/3

8) Escrever uma equação para a reta que passa por P que é:

1. paralela à L e
2. perpendicular à L

1. P (0, 0 ) e L: y = -x + 2
2. P ( -2, 2) e L: 2x + y = 4

a) P (0, 0 ) e L: y = -x + 2

i) paralela à L: y = -x + 2

a) P (0, 0 ) e L: y = -x + 2 (m = -1)

y – y₁ = m ( x-x₁)

y – 0 = -1 ( x – 0) y = -x

ii) perpendicular à L ( m= 1)

y – y₁ = m ( x-x₁)

y – 0 = 1 ( x – 0) y = x

2. P( -2, 2) e L: 2x + y = 4y = 4 – 2x ou y = -2x +4

9. paralela à L ( m = -2)

y – y₁ = m ( x-x₁)

y – 2 = -2 ( x – 0) y-2 = -2x  y = -2x +2

ii) perpendicular à L (m = +1/2)

y – y₁ = m ( x-x₁)

y – 2 = +1/2 ( x – 0)  y-2 = +1/2x 

y = +1/2x + 2

9) Dizer se a função é par ou impar?

1. f(x) = 3 f é constante

f(-x) = 3 logo f(x) = f(-x) f é par

b) f(x) = x ^-5

f(-x) = (-x) ^-5 = 1/ (-x) ⁵ = 1/ -x⁵ = - x ^-5

logo f(-x) = - f(x) , logo f é impar.

10) Dizer se a função é par ou impar?

a) y = x² +1

f(-x) = (-x)² +1 x² +1 = f(x) f é par

2. y = x² +x

f(-x) = (-x)² +(-x) x² - x = f(x) f não é par e nem impar

11) Dizer se a função é par ou impar?

1. g(x) = x³ +x

g ( -x) = (-x) ³ + (-x) = -x³ –x = -( x³ +x) = - g(x)

f é impar

2. g(x) = x⁴ – 3x² – 1
3. g(-x) = (-x) ⁴ – 3 (-x) ² -1 = x⁴ - 3 . x² -1 = g(x)

f é par

12) Dizer se a função é par ou impar?

1. h(t) = 1 / (t-1)

h(-t) = 1/ ( -t -1) = 1 [-(t+1) ] =

- [1 / (t+1) ] DIFERENTE DE - h(t). LOGO A FUNÇÃO NÃO É PAR E NEM ÍMPAR

2. h(t) = | t³ |

h(-t) = | (-t) ³ | = | -t³ | = | t³ | = h(t)

f é par

13) Determinar a função inversa de y = 1/2x +1, expressando-a em função de x. Depois confira o seu resultado.

1)f(x) = y = 1/2x +1

2) y -1 = 1/2x  x = [(y -1)] / ½ = 2y -2 x = 2y -2

3) trocar x por y  f^-1(x) y = 2x -2

f ( f^-1(x) ) = f (2x -2) = x

f^-1( f(x) ) = f^-1(1/2x +1) = 2(1/2x +1) -2 = x

14) Determinar a função inversa de y = x² expressando-a em função de x. Depois confira o seu resultado.

f(x) = x²

1)y = x²

2) x = raizq y

3) y = raizq x = f^-1(x)

f ( f^-1(x) ) = f (raizq x) = (raizq x)² = x

f^-1( f(x) ) = f^-1(x²) = raizq x² = x

15) Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha o seu domínio.

a) Expresse a área de um triângulo eqüilátero como uma função do comprimento de um dos seus lados.

Solução:

No triângulo eqüilátero de lado l a altura h é dada por: h = l sen 60º = l

Área do triângulo =

Uma vez que o lado de um triângulo não pode ser um número negativo, e não tem restrições de tamanho, o domínio é dado por

b) Um retângulo tem um perímetro de 20 m. Expresse a área do retângulo como uma função do comprimento de um dos seus lados.

Solução:

O perímetro mede 20m, portanto: 2x + 2y = 20 → x + y = 10 →

y = 10 – x

Uma vez que os lados do retângulo têm que ser um número positivo, 0 < x < 10

Área do retângulo = x.y = x.(10 – x) = -x² + 10x

18) Um homem apara seu gramado toda quarta-feira à tarde. Esboce o gráfico da altura da grama como uma função do tempo no decorrer de um período de quatro semanas.

Para resolver este exercício temos que assumir algumas hipóteses: 1) O gramado é cortado sempre na mesma altura mínima. 2) Durante a semana que separa cada corte o gramado cresce sempre na mesma proporção, atingindo portanto a mesma altura máxima. 3) Vamos iniciar o gráfico no dia do corte, isto é, quarta feira.

19) Determine o domínio e a imagem de f(x) = 2 +

Solução: Para que a função esteja definida x – 1 ≥ 0, ou seja x ≥ 1, logo o domínio de f(x) = 2 + é x pertencente aos reais, tal que x ≥ 1. Uma vez que ≥ 0 a imagem de f(x) = 2 + é y pertencente aos reais, tal que y ≥ 2.

20) Determine o domínio de f(x) = (x + 1) / (x – 1)

Solução: A função acima não está definida para x = 1. Portanto seu domínio é x pertencente aos reais tal que x ≠ 1.

Exercícios sobre limites

Calcule os seguites limites abaixo:
 1-)
Resolução:
Obs:Substituindo por 2 diretamente na função fica 2*2-7*2+10/2*2-4= 4-14+10/4-4 = -10+10/4-4=0/0,isto no cálculo é chamado limite indeterminado que além de 0/0, infinto/infinito e -infinito/-infinito também são limites indeterminados, e portanto devese calcular o limte usando alguns artíficios algébricos como mostra-se na resolução do problema abaixo:   

 

2-)
 
Resolução:

3-)
 
Resolução:

Fonte: http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/limites/limite.html

Exercicios sobre derivada

NO LIVRO DE HOWARD ANTON: CÁLCULO: um novo horizonte – Vol. 1 Páginas 186/187

Resolução / Explicação

RESOLUÇÃO;

F’(1) = ?

F’(3)= ?

F’(5) = ?

F’(6) = ?

f’(1) = ?

No ponto x =1 a reta tangente à curva y = f(x) é a reta VERMELHA. Identifique 2 pontos quaisquer que pertençam à reta tangente à curva y = f(x), no ponto x = 1.

Assim, os pontos são: (1,3 ) e (0, 1) . Então:

y-y₁ = m (x-x₁)  m = y-y₁ / (x-x₁)

m = 1-3 / 0 -1 = 2  m = 2

f’(3) = ?

No ponto x =3 a reta tangente à curva y = f(x) é a reta AZUL. Identifique 2 pontos quaisquer que pertençam à reta tangente à curva y = f(x), no ponto x = 3.

Assim, os pontos são: (3, 6 ) e (6, 6) . Então:

y-y₁ = m (x-x₁)  m = y-y₁ / (x-x₁)

m = 6 - 6 / 6 -3 = 0 / 3  m = 0

f’(5) = ?

No ponto x =5 a reta tangente à curva y = f(x) é a reta VERDE. Identifique 2 pontos quaisquer que pertençam à reta tangente à curva y = f(x), no ponto x = 5.

Assim, os pontos são: (5, 3 ) e (6, 1) . Então:

y-y₁ = m (x-x₁)  m = y-y₁ / (x-x₁)

m = 1-3 / 6 -5 = -2 / 1  m = -2

f’(6) = ?

No ponto x =6 a reta tangente à curva y = f(x) é a reta ROSA FORTE. Identifique 2 pontos quaisquer que pertençam à reta tangente à curva y = f(x), no ponto x = 6.

Assim, os pontos são: (6, 1 ) e (5, 2) . Então:

y-y₁ = m (x-x₁)  m = y-y₁ / (x-x₁)

m = 2-1 / 5 -6 = 1 / -1  m = -1

EXRECÍCIO 3 PARTE A)

A DERIVADA É IGUAL A INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE À CURVA, NO PONTO DESEJADO. PORTANTO, CALCULARIA A INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE À CURVA, NO PONTO a.

ATENÇÃO - EXERCÍCIO 3 B ( A LETRA B DESSE EXERCÍCIO NO LIVRO TEM UM PROBLEMA - O ENUNCIADO ESTÁ ERRADO O CERTO É

Y = 3X - 1

A EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO Y = F(X) NO PONTO (2,5) É Y = 3X-1, DETERMINE

F’(2) =? A DERIVADA NO PONTO 2????

y= f(x))

Y = 3x – 1

Como Y = 3x – 1 é a equação da reta tangente no ponto (2,5) pode-se concluir que f’(2) = 3 ( coeficiente angular da reta tangente = m )

Assim, somente olhando-se na equação da tangente e interpretando-a , conclui-se que: f’(2) = 3, que é o coeficiente angular da reta no ponto x = 2 e y = 5, no ponto (2,5).

EXERCÍCIO 4 -

Pelos dados do exercício tem –se que A RETA TANGENTE PASSA PELOS PONTOS: (-1, 3) E ( 0, 4)

O ponto ( -1, 3) é um ponto que pertence à reta tangente e à função, pois ele é o ponto de tangência da função com a reta tangente.

O ponto ( 0, 4) só pertence à reta tangente mas, não pertence à função.

Então tem-se no exercício 2 pontos que pertencem à reta tangente (-1, 3) E ( 0, 4) , aplica-se a fórmula e calcula-se a inclinação da reta tangente = m.

Assim, m = y-y₁ / (x-x₁) = 3 – 4 / -1 – 0 = -1 / -1 = +1, logo m = 1

Que é a inclinação da reta tangente, que é igual a derivada da função no ponto (-1,3) que é o ponto de tangência , onde a reta tangente tangencia a f(x) .

Então: f’(-1) = m = 1

(EM GERAL, PARA CADA PONTO DA FUNÇÃO TEM-SE UMA RETA TANGENTE DIFERENTE)

EXERCÍCIO 7 – 8 -

EXERCÍCIO 7

F(3) = -1 →A FUNÇÃO PASSA PELO PONTO (3, -1)

Como F’(3) = 5 ( a derivada no ponto x = 3 ) Conclui-se que A DERIVADA OU A INCLINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE à função y = f(x) no ponto (3, -1) é igual a 5, ou seja:

m =5

Sabe-se que: O ponto (3,-1) pertence à reta tangente e também pertence à f(x)

Portanto, a equação da reta tangente à função y = f(x) , no ponto (3,-1) é:

y-y₁ = m (x-x₁)  y +1 = 5 ( x -3) y +1 = 5x – 15

y = 5x -15 -1

y = 5x - 16

EXERCÍCIO – 8 -

( -2, 3) pertence à função e também pertence à equação da reta tangente  pois esse ponto é o ponto de tangência.

Sabe-se que f’(-2) = -4 = m  inclinação da reta tangente  coeficiente angular da reta tangente  derivada da função no ponto ( -2, 3) (ponto de tangência).

Então: como f’(-2 ) = -4 tem-se que: m = -4

E como f(-2) = 3 tem-se que o ponto (-2, 3) pertence à equação da reta tangente e também pertence à função. Aplicando-se a fórmula, tem-se que:

y-y₁ = m (x-x₁) y – 3 = -4 ( x +2) y = -4x - 8 +3

y = -4x -5

EXERCÍCIO – 9- RESPOSTA:

Y = 18X – 27

EXERCÍCIO – 10- RESPOSTA:

Y = 3X -4

EXERCÍCIO –11- RESPOSTA:

Y = 0 ( É O PRÓPRIO EIXO X)

EXERCÍCIO – 12 -RESPOSTA:

Y = 6X +5

EXERCÍCIO – 13- RESPOSTA:

Y = 1 / 6 X + 5 /3

EXERCÍCIO – 14- RESPOSTA:

Y – 16 = -32 (X + 2)

EXERCÍCIO – 15 - RESPOSTA:

-1 / X²

EXERCÍCIO – 16- RESPOSTA:

-2X / X⁴

EXERCÍCIO – 17 - RESPOSTA: 2AX

EXERCÍCIO – 18- RESPOSTA:

- 1 / (X +1)²

EXERCÍCIO – 19 - RESPOSTA: -1/2 . X ^-3/2